Зачем нужны упругие столкновения на ЕГЭ
Фраза «упругие столкновения» часто заставляет школьников вздрагивать, хотя этот сюжет входит в самый базовый набор задач по механике. Изучив его, ученик решает целый класс примеров с сохранением энергии и импульса, а не один-единственный номер. Поэтому время, вложенное в тему, окупается высоким баллом.
Сначала выясним цель экзаменатора. Он проверяет, видит ли выпускник связь между числовыми законами и реальными процессами. Столкновение шариков показывает это особенно наглядно: скорости меняются, но векторная сумма импульсов остаётся той же. Ключевая идея проста, однако в задачах часто добавляют наклонные плоскости, трение и упоры. Школьник, натренировавший понимание в чистом случае, переносит его на усложнённый сценарий без лишней паники.
Импульс и энергия: две стороны одной монеты
Импульс тела равен произведению массы на скорость. Кинетическая энергия равна половине произведения массы на квадрат скорости. Формулы похожи, но ведут себя по-разному при переходе в разные системы отсчёта. Важный вывод: импульс — величина векторная, энергия — скаляр, поэтому первая может сокращаться из-за направлений, а вторая — нет.
На ЕГЭ задают ситуацию: два тела одинаковой массы движутся навстречу. После упругого столкновения они «обмениваются» скоростями. Ученик легко проверяет это, приравняв сумму импульсов и сумму энергий до и после события. Если массы различаются, придётся писать систему. Решив её однажды, стоит запомнить характерный результат: лёгкое тело отскакивает почти с удвоенной начальной скоростью, тяжёлое слегка замедляется.
Идеальный шарик и реальные нюансы
Упругость в школьных задачах подразумевает полное отсутствие потерь на деформацию, звук и тепло; то есть коэффициент восстановления равен единице. Между тем в лаборатории даже стальной шар теряет часть энергии. Для ЕГЭ это отличие не критично, главное — чётко определить, когда модель применима.
Полезно держать в голове список допущений:
- длительность контакта пренебрежимо мала;
- внешние силы за время удара не успевают изменить импульс системы;
- вращение сфер отсутствует либо не влияет на линейный импульс.
Если условия задачи нарушают хоть один пункт, сохранение энергии уже не гарантировано. Тогда используют только закон импульса, а потерянную долю ищут через работу сил сопротивления или упругое сжатие пружины.
Касательные и центральные столкновения
Центральным называют удар, когда линии центров тел совпадают с направлением относительной скорости. В касательном случае эти направления не совпадают, и появляется момент импульса. На экзамене любят подменять одно другим: в тексте дано «под углом α к нормали», а рисунок нарисован так, что школьник механически применяет формулы для центрального удара и ошибается.
Чтобы не попасться, прежде чем писать уравнения, нужно выделить оси: одну вдоль нормали, другую перпендикулярно. По нормали действуют оба закона сохранения. По касательной сохраняется только проекция импульса, энергия не обязана. Такой алгоритм экономит время и снижает риск алгебраической путаницы.
Закон сохранения импульса в задачах с несколькими телами
Иногда сталкиваются не два, а три предмета, например вагон, снаряд и мишень. Прямое решение через систему уравнений быстро превращается в громоздкого монстра. Секрет — разбить процесс на последовательные микрособытия, между которыми система снова «закрыта».
Типичный пример: шарик ударяет другой, потом оба расходятся и ловят третий. Порядок действий таков:
- выбрать систему координат;
- записать импульс до первого контакта и после него;
- использовать полученные скорости как «до» для второго удара;
- повторить шаги до конца сцены.
Каждое уравнение выходит линейным, а квадратные корни появляются только при возврате к энергиям. Экономия времени очевидна, особенно при расчётах вручную.
Как рассеивание света перекликается с механикой
Удивительно, но методы, применимые к шарикам, работают и в оптике. Фотоны при комптоновском рассеянии ведут себя почти как упруго сталкивающиеся частицы: у них тоже есть импульс p = h/λ. Сохраняя энергию и импульс, получают формулу, связывающую изменение длины волны с углом разлёта.
На ЕГЭ задач про Комптон нет, однако понимание расширяет кругозор и помогает ориентироваться в межпредметных связях, которые любят на устных собеседованиях при поступлении. Кроме того, аналогия подчёркивает универсальность законов сохранения: не важно, играют ли роль массивные тела или безмассовые кванты, математика остаётся одной и той же.
Типовые ловушки экзамена и способы их обойти
Составители часто используют три приёма:
- неявно задают оси, заставляя ученика забыть о знаках;
- подставляют численные массы и скорости так, чтобы ответы получались похожими на округлые, но неверные значения;
- мешают упругий и неупругий этапы в одной истории, проверяя внимательность к фразе «после соударения тела слиплись».
Противоядие банально: выписывать законы словами перед формулами. Например, «до удара сумма импульсов равна…» — и лишь затем цифры. Такой приём держит в фокусе физический смысл и не даёт запутаться в знаках.
Минимальный набор формул и лайфхаки повторения
Запоминать целые страницы равенств бессмысленно. Достаточно десяти строк:
- p = mv;
- Eₖ = mv²/2;
- p₁ + p₂ = p₁′ + p₂′;
- Eₖ₁ + Eₖ₂ = Eₖ₁′ + Eₖ₂′ (упругое событие);
- e = −v′/v (коэффициент восстановления);
- m₁v₁ + m₂v₂ = (m₁ + m₂)u (неупругое слипание);
- L = r × p;
- Δλ = h/(mс)(1 − cos θ) (Комптон);
- P = FΔx/Δt (средняя мощность);
- Fₚр = μN (трение).
Для закрепления используйте метод «три смешанные задачи в день». Берите по одной из сборника Мещерякова, открытого банка ФИПИ и старого вступительного МФТИ. Разнообразие формулировок учит видеть суть. Через две недели заметите, что распознаёте тип решения быстрее секунды.